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segunda-feira, 9 de janeiro de 2017

Questões Resolvidas - Matemática Básica - Diversos Assuntos

Olá pessoal, 

Resolvi iniciar publicações onde irei disponibilizar o material resultante dos meus estudos para Concurso Público. Inicialmente estarei fazendo publicações sobre assuntos básicos, como português, e matemática. Pretendo futuramente, conforme o desenvolvimento dos meus estudos, publicar questões resolvidas de  Engenharia Civil. 
Peço desculpas aos que acompanham o Blog com frequência, pois não há publicações por um longo tempo, estive em momentos turbulentos na vida (risos), mas vamos para a batalha e tentar retornar ao Blog, que serve como uma válvula de escape.  
A maioria das questões desta publicação são da empresa Sigma, sendo uma prova de concurso de 2011, para o cargo de Contador, enfim, vamos as questões. 

Questão 01. Observe as afirmações abaixo:
I) Qualquer x pertencente ao conjunto dos números inteiros também pertence ao conjunto dos números irracionais.
II) Qualquer x pertencente ao conjunto dos números racionais também pertence ao conjunto dos números reais.
III) Qualquer x pertencente ao conjunto dos números irracionais também pertence ao conjunto dos números reais.
IV) Qualquer x pertencente ao conjunto dos números inteiros também pertence ao conjunto dos números naturais.
V) Toda dízima periódica é um número racional.

São verdadeiras as sentenças?
A) I, II e V;
B) I, III e IV;
C) II, III e IV;
D) II, III e V;
E) II, IV e V.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Conjunto dos Números Naturais: são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.
Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Números Inteiros: são todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).
São representados pela letra Z:
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:
Inteiros não negativos
São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. É representado por Z+:
Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
Inteiros não positivos
São todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
Inteiros não negativos e não-nulos
É o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Z*+ = N*
Inteiros não positivos e não nulos
São todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.
Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números Racionaisé um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também conhecidas como dízimas periódicas. Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números Irracionais: é formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o PI. Os números irracionais são representados pela letra I. 
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ..)

Conjunto dos Números Reais: é formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais). Representado pela letra R.

Eu pessoalmente gravo facilmente figuras, então há duas alternativas, a figura abaixo (diagrama de Venn):


Dizima periódicas: é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algorismos decimais que, a partir de um certo algorismo, se repete em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre nas mesmas disposições e é chamado de período. Por exemplo:

1/3 = 0,333...     ;      5/6 = 0,833...

Questão 02. Um terreno com o formato mostrado abaixo indica três lotes com frentes para a rua Alegria. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua Alegria. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para rua Alegria medem, respectivamente, 12 m, 15 m e 20 m. A frente do lote 2 para a rua Felicidade mede 15 m. A medida da frente para a rua Felicidade dos lotes 1 e 3 são:
A) 14,0 m e 22,0 m;
B) 14,4 m e 22,0 m;
C) 14,4 m e 24,0 m;
D) 16,0 m e 24,0 m;
E) 16,4 m e 22,0 m.

O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais a um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre segmentos correspondentes da outra. 
Portanto:
x/12 = 18/15 
15x = 18 * 12
x = 14,4m

y/20 = 18/15
15y = 20 * 18
y = 24m

Obs.: Esta questão foi anulada no concurso, não faço ideia do motivo, porém, assim mesmo resolvi publicar. 

Questão 03. O volume de um cone regular reto, cujo raio de base é de 5 cm e altura 10 cm é, usando π= 3,14:

A) 81,66 cm3;
B) 106,66 cm3;
C) 160,66 cm3;
D) 216,66 cm3;
E) 261,66 cm3.

Uma dica pessoal, eu sei que é complicado e chato, mas, para quem desejar passar em Concurso e Vestibular, terá que saber as fórmulas para calcular tanto o volume, quanto a área de diversos tipos objetos ou/e formas. 
Nesta questão é simples se soubermos a fórmula para calcular, que é:

V = (π * R^2 * h)/3
Como não estou utilizando editores para equações e cálculos matemáticos, para que você entenda: R^2 é R ao quadrado, o símbolo * é multiplicação, R é o raio da base do cone e h altura do cone. 

V = (3,14 * 25 * 10)/3
V =261,66 cm3

Questão 04. A área do losango inscrito no retângulo abaixo mede 52 cm2. A diagonal maior do losango mede 13 cm. Portanto sua diagonal menor mede:



A) 10 cm;
B) 08 cm;
C) 07 cm;
D) 06 cm;

E) 05 cm.

O que falei anteriormente para a resposta da questão 03, vale para esta, sabendo-se a como calcular a área de um losango e não entrando na pegadinha da pergunta (colocar um retângulo), é simples a resposta:

Área de um losango = A = (D * d)/2
D: diagonal maior
d: diagonal menor 
Portanto:
52 = (13 * d)/2  →   52 * 2 = 13d  →  104/13 = d
d = 8cm

Questão 05. O gráfico abaixo mostra as notas obtidas por 14 “Bandas” que se apresentaram em um concurso de Bandas.

Calculando-se a moda e a mediana correspondente a esse gráfico, obtemos:
A) 9,0 e 9,0;
B) 9,0 e 8,5;
C) 9,0 e 8,0;
D) 8,0 e 9,0;
E) 8,5 e 9,0.

Lembrando que Moda é o número mais frequente em um conjunto de números, e a Mediana, é o número que representa o valor central, obviamente após ordenar os valores em crescente ou decrescente. Como temos em formato de gráfico os dados fornecidos, fica fácil visualizar, sendo a Moda igual a nota 9, ou seja, a nota com maior número de frequência (sendo que 4 bandas ganharam esta nota). E que a Mediana é também igual 9, pois são 5 valores de notas, ou seja, a nota central é 9. Caso fossem 5 números, por exemplo retirando o 9,5, teríamos que somar o 8,5 e 9 e dividir por 9. 

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