Exemplo de cálculo para determinar domínio da viga

1.Introdução

O exemplo de cálculo para determinar o domínio da viga, será conforme a estrutura da imagem abaixo:

1. Para tanto se levou em consideração as seguintes informações contidas no enunciado do trabalho:

I. A laje L1 está engastada à laje L2,

II. Existe 25 m de paredes internas sobre a laje L2,

III. Existe 15 m de paredes internas na laje L3,

IV. Há paredes sobre todas as vigas,

V. Este pavimento será utilizado como salão de esporte de um clube.

2. Cálculos foram desenvolvidos segundos os seguintes critérios:

I.    Lajes: cálculo das cargas atuantes e cálculo das áreas (aproximação conforme item 14.7.6.1 da NBR 6118:2003 para lajes maciças).

II.    Vigas: cálculo das cargas atuantes.

III. Montagem dos diagramas.

IV.   Verificação dos domínios.

2. Charneiras Plásticas

Os carregamentos atuantes em lajes são entendidos no cálculo estrutural a partir da teoria das charneiras plásticas. Também conhecido como método das linhas de ruptura, a teoria das charneiras plásticas considera que exista uma linha (imaginária) de ruptura em lajes, sempre formando um ângulo de 45° em regiões onde as duas extremidades têm ligações iguais, e ângulo de 60° em regiões onde um dos lados é engastado e outro simplesmente apoiado, sempre tendo o ângulo maior em relação ao lado engastado. Sendo assim, considerando que as partes constituintes das lajes do pavimento tem ligações simples (simplesmente apoiadas), e ligações engastadas entre as Lajes 1 e Laje 2, conforme item I do caput anterior, o que resulta na seguintes linhas de ruptura do pavimento em exercício:

Imagem: Linha de ruptura da Laje 1.

Imagem: Linha de ruptura da Laje 2.

Image: Linha de ruptura da Laje 3.

3. Determinação das áreas

Considerando à organização do cálculo de suma importância, para um entendimento rápido dos critérios e informações que condizem propriamente ao cálculo, destarte, atribui-se a cada área determinada denominação arbitrária, conforme figura abaixo. 

Imagem: Denominação das áreas.

Para determinação das áreas pode-se utilizar o software empregado no projeto, como por exemplo o AutoCad, da empresa Autodesk. 

Desenhando uma reta inclinada conforme o ângulo de cada vértice da laje, devido ao seu tipo de condições de apoio e aproximação do ângulo quando não for realizado análise plástica, encontrando-se o vértice entre as linhas referente à área de influência. Realizado isto no software, pode-e encontrar facilmente através do próprio programa utilizado, ou caso desejar-se as áreas podem ser calculadas através da trigonometria, para tanto será apresentado brevemente como pode ser calculado utilizando como exemplo a Laje 1, área denominada A1A. 

Utilizando-se o conhecimento de trigonometria onde sabe-se que o ângulos somados deverão sempre ser igual a 180º.

Portanto:

Fazendo-se uso da lei dos senos para resolver o problema:

Sendo:

Um dos lados é conhecido (C = 3m), então podemos encontrar o valor da reta A e da reta B.

Podemos agora calcular a área, com a seguintes expressões:

Aplicando a expressão no exemplo, temos:

Para o caso das áreas em formato de trapézio, pode-se dividir os mesmos em dois triângulos e um retângulo ou quadrado, dependendo do caso. Sendo que os triângulos terão a mesma área, facilitando a obtenção dos restante das áreas. Ou, quando obtiver alguns valores que possibilitem aplicação da equação da área do trapézio, faça uso para simplificar. Isto obviamente em casos de necessidade, como no caso de provas ou concursos, pois no dia-dia do profissional ninguém calcula as áreas, pois é facilmente obtido com software. 

4. Áreas de influência

Abaixo segue imagem com os valores das áreas de influência.

5. Determinação dos carregamentos das lajes

Para o cálculo dos carregamentos das lajes foi considerado as cargas provenientes do peso próprio, paredes, cargas acidentais, e do revestimento onde no enunciado do trabalho faz referência ao revestimento, com peso de 1 kN/m², que provavelmente consiste em um peso de 3 cm de contrapiso, 1 cm de argamassa colante e 1 cm de piso cerâmico, e por fim, será considerado carga de serviço (carga acidental). Não será considerado reboco na parte inferior da laje.

Laje 1

eL =  0,08 m Espessura da laje

γ = 25 kN/m³ Peso especifico concreto

Peso Próprio

PP = eL * γ

PP = 2 kN/m²

Carga acidental

ca = 5 kN/m² Tabela 2 da NBR 6120:1980 pág. 3

Revestimento

Rev. = 1 kN/m² Dado no problema

Total

qL1= 8 kN/m²

Laje 2

eL =  0,1 m

γ = 25 kN/m³

 Peso Próprio

PP = eL * γ

PP = 2,5 kN/m²

Carga acidental

ca = 5 kN/m²

Revestimento

Rev.= 1 kN/m²

Paredes (25m)

Pp =  (metros cúbico de parede * 13kN/m³)/área da laje

Pp =  7,9219 kN/m²

Total

qL1= 16,422 kN/m²

Laje 3

eL = 0,08 m

γ = 25 kN/m³

 Peso Próprio

PP = eL * γ

PP = 2 kN/m²

Carga acidental

ca = 5 kN/m²

Revestimento

Rev. = 1 kN/m²

Paredes (25m)

Pp = (metros cúbico de parede * 13kN/m³)/área da laje

Pp =  6,3375 kN/m²

Total

qL1= 14,338 kN/m²

6. Carregamentos de vigas e verificação do domínio das vigas utilizando um exemplo (Viga 6)

6.1 Cálculo das cargas

Utilizando como exemplo a Viga 6.

Imagem: Estrutura a ser estuda, em destaque a Viga 6.

Primeiramente se calculou as cargas proveniente das lajes, que são das Laje 1 e da Laje 2, conforme a abaixo.

Imagem: Em destaque (laranja) cargas proveniente das lajes 1 e 2.

Para calcular a cargas das duas lajes, foi utilizado a seguinte expressão:

Onde:

A1B e A2C: área das respectivas lajes

qL1 e qL2: carga das respectivas lajes

L: comprimento da viga

6.2 Peso Próprio

Para calcular o peso próprio de qualquer viga, deve ser levado em conta os seguintes itens:

• Peso específico do concreto (γ) → em kN/m³
• Área da seção (A) → em m²

Para nosso exemplo, da Viga 6, temos as seguintes medidas:

bw = 15 cm

h = 40 cm

c = 3 cm

Área

A = bw . h = 0,06 m²

Então temos o seguinte peso próprio (PP):

PP = A . γ = 0,06 . 25 = 1,5 kN/m

6.3 Peso Paredes

Para o calculo do peso das paredes, é realizado com os seguintes itens:

• Espessura da parede (ep) → em m
• Altura parede (hp) → em m
• Peso específico paredes (γp) → em kN/m³

Para nosso exemplo, da Viga 6, temos os seguintes valores:

ep = 0,15 m

hp = 2,6 m

γp = 13 kN/m³

Então temos o seguinte peso próprio (P’P):

P’P = ep . hp . γ = 0,15 . 2,6 . 13 = 5,07 kN/m

6.4 Cálculo da linha neutra

Se faz necessário abordar rapidamente como foi calculado a posição da linha neutra (x). Para tanto, foi utilizado a equação abaixo (para armadura simples):

Aplicando a equação no exemplo, temos:

Aplicando algorismo de Bhaskara, temos os seguintes coeficientes:

Sendo que:

Portanto:

Calculando o valor de x usando o "algoritmo de Bhaskara":

A primeira solução, x = 0,6742 m, indica que a linha neutra passa fora da seção transversa, não atendendo ao caso de flexão simples; assim, o valor correto é x = 0,2508 m.

6.5 Verificação do domínio

Para aço CA-50 (εyd = 2,07‰, no limite entre os domínios 3 e 4):

Como temos arbitrado já a altura útil da viga (d), podemos saber os limites entre os domínios.

x = 0,259 .  d = 0,259 . 0,37 = 0,09583 m           (Limite entre domínios 2 e 3)

x = 0,6283 .  d = 0,6283 .  0,37 = 0,232471 m    (Limite entre domínios 3 e 4)

Sendo que o valor da linha neutra obtido foi: 

x = 0,2508 m 

Então podemos concluir que a Viga 6 encontra-se no domínio 4.

7. Cálculo mediante coeficientes Tipo K

Com o intuito de facilitar o cálculo manual, há muitos anos vem se ensinando no Brasil a utilização de tabelas com variáveis do tipo K. Para diferentes posições da linha neutra, expressão pela relação βx = x/d, são tabelados coeficientes Kc e Ks, relativos à resistência do concreto e à tensão na armadura tracionada.  

Introduzindo o coeficiente Kc na equação Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4 βx), temos:

Com:

Isolando o coeficiente Kc tem-se:

O coeficiente Kc está apresentado na tabela em anexo. Observe que na equação acima, em que Kc depende da resistência do concreto à compressão (fcd) e da posição da linha neutra, expressa pela variável βx.

7.1 Resolução numérica através do coeficiente tipo K

O presente capítulo pretende apresentar de forma rápida aplicação numérica de outra forma de solução do problema proposto, que seguem abaixo:

Viga 1 e 3

Tipo de aço: CA-50

Concreto: 25 MPa

Mmáx = 15.808 kN . cm

bw = 20 cm

d = 37 cm

Conclusão: Não encontrado na tabela o valor de Kc, o valor mais próximo é encontrado no domínio 4.

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