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sábado, 22 de abril de 2017

Questões Resolvidas - Matemática - Circunferência e Círculo



Na presente publicação é apresentado questões resolvidas de concurso público, de um banca (citada nas questões), do Estado do Rio Grande do Sul, caso deseje mais publicações sobre questões resolvidas, comente abaixo, idem caso tenha lhe ajudado.


(Pref. Sobradinho RS 2016 / Objetiva) Considerando-se o círculo de equação (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16, é CORRETO afirmar que o ponto P(-4, 1) e o ponto Q(4, 4) são, respectivamente:

a) Interno e interno ao círculo.
b) Interno e externo ao círculo.
c) Externo e externo ao círculo.
d) Externo e interno ao círculo.

Resolução: 
Resumidamente, determinado ponto será externo quando a distância entre o centro do círculo ou circunferência até o ponto em questão for maior que o raio do círculo ou circunferência. Quando for menor que o raio, está dentro do círculo ou interno da circunferência. E quando for igual ao raio, pertence a circunferência ou está na superfície do círculo. 
Sabendo-se disso, vamos aplicar os conceitos:
Ponto P 
P = (-4, 1) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 (-4 - 1)2 + (1 - 1)2 = 16
(-5)² + (0)² = 16 25 > 16 (Externo)

Ponto Q
Q = (4, 4) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 (4 - 1)2 + (4 - 1)2 = 16
(3)² + (3)² = 16 18 > 16 (Externo)

Resposta (Gabarito): alternativa c

(Pref. São Paulo das Missões RS 2016 / Objetiva) Assinalar a alternativa que apresenta, respectivamente, o centro e o raio do círculo representado pela equação abaixo: x² + y² - 2x + 2y - 14 = 0

a) (-1, 1) e 4.
b) (1, -1) e 4.
c) (-1, 1) e 16.
d) (1, -1) e 16.

Resolução:
Primeiramente vamos organizar a equação, para podermos encontrar o raio e o centro do círculo, para isso iremos transformar a equação no tipo:
(xA ± a)² + (yA ± b)² = R²
Aplicando:
x² + y² - 2x + 2y - 14 = 0   → x² - 2x + y² + 2y = 14 (x – 1)² - 1 + (y + 1)² - 1 = 14
(x – 1)² + (y + 1)² = 14 + 2        →        (x – 1)² + (y + 1)² = 16
Pronto, agora para encontrar o centro, basta encontrar os vértices de x e y, ou seja, quando x = 0 e y = 0. 
x – 1 = 0        →        x = 1
y + 1 = 0        →        y = -1          →  Centro (1, - 1)
Para encontrar o raio, basta calcular a raíz do valor do lado direito da equação, que representa R².
R² = 16
R = 4

Resposta (Gabarito): alternativa b

(Pref. Agudo RS 2015 / Objetiva) Determinado círculo é representado pela equação x² + y² - 6x + 10y + 31 = 0. Assinalar a alternativa que apresenta seu centro e raio:

a) Centro = (3, -5) e raio = 3.
b) Centro = (5, -3) e raio = 31.
c) Centro = (2, 2) e raio = 31.
d) Centro = (3, -5) e raio = 3.

Resolução:
Primeiramente vamos organizar a equação, para podermos encontrar o raio e o centro do círculo, conforme questão anterior. 
x² + y² - 6x + 10y + 31 = 0   → x² - 6x + y² + 10y + 31 = 0
(x – 3)² - 9 + (x + 5)² - 25 + 31 = 0
(x – 3)² + (x + 5)²  = 3
Centro:
x – 3 = 0          →       x = 3
y + 5 = 0          →       y = -5          →  Centro (3, - 5)
Raio
R² = 3
 
Resposta (Gabarito): alternativa a

(Pref. Maripá PR 2016 / Objetiva) Assinalar a alternativa que apresenta, respectivamente, o centro e o raio do círculo representado pela equação abaixo:
x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0

a) (2, 3) e 9.
b) (-2, -3) e 9.
c) (2, 3) e 3.
d) (-2, -3) e 3.

Resolução:
Primeiramente vamos organizar a equação, para podermos encontrar o raio e o centro do círculo, conforme questão anterior. 
x² + y² - 4x - 6y + 4 = 0          →        x² - 4x + y² - 6y = 0           →       (x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 + 4 = 0
(x - 2)² + (y - 3)² = 9
Centro:
x - 2 = 0          →       x = 2
y - 3 = 0          →       x = 3          →       Centro (2, 3)
Raio:
R² = 9          →        R = 3

Resposta (Gabarito): alternativa d

(Pref. Dom Pedrito RS 2016 / Objetiva) Assinalar a alternativa que apresenta o raio do círculo representado pela equação abaixo:
x² + y² - 4x - 5 = 0
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9

Resolução:
Primeiramente vamos organizar a equação, para podermos encontrar o raio e o centro do círculo, conforme questão anterior. 
x² + y² - 4x - 5 = 0          →        x² - 4x + y² - 5 = 0          →        (x - 2)² - 4 + (y + 0)² - 5 = 0
(x - 2)² + (y + 0)² = 9
Raio
R² = 9          →        R = 3

Resposta (Gabarito): alternativa a




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