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sexta-feira, 19 de maio de 2017

Questões Resolvidas - Matemática - Probabilidade



Nesta publicação é resolvido algumas questões sobre probabilidade. Quem desejar encontrar posteriormente mais questões resolvidas comentem, pois somente através de comentários irei avaliar se é viável ou não a continuação. Desde já agradeço.

(Pref. Chapada RS 2015 / Objetiva) Em uma urna, há 10 bolas numeradas de 0 a 9. Se duas bolas forem retiradas separadamente, em sequência e sem reposição, qual é a probabilidade de a soma dos números das bolas ser ímpar?

a) 5/10
b) 5/10
c) 2/9
d) 6/10

Resolução:
Na presente questão não será considerado nomenclaturas próprias do conteúdo de probabilidade, preferiu-se resolver explicando o raciocínio lógico para resolvê-la. Leitores mais antigos do blog provavelmente já tenham percebido o uso de denominações e nomenclaturas nas explicações discrepantes das encontradas em bibliografias, é uma opção de apresentar o conteúdo com visão didática diferente, muitos acadêmicos condenam este tipo de didática, por fugir das convenções matemáticas e científicas, sendo estes sistemas seguidores de doutrinas e métodos seculares, e o autor opta por não se prender a esta doutrina, quem desejar seguir nessa linha de métodos heurísticos padronizados, há muitos livros para isso, alguns bons, outros nem tanto, mas no blog irá encontrar uma forma desgarrada dos paradigmas acadêmicos e pedagógicos, na esperança em ajudar quem não compreende os livros, não desmerecendo de forma alguma os mesmos. 
Voltando a resolução propriamente dita, temos um conjunto de bolas, numeradas de 0 a 9, que coincide com os algarismos adotados no Sistema de Numeração Decimal. Fala-se em retirar as duas bolas separadamente, esta informação é importante, pois retirar ao mesmo tempo mudaria o cálculo. Também se fala em não repor a bola já retirada, o que também é considerado no cálculo. Por fim, a questão pede para informar a probabilidade de a soma das bolas retiras ser número ímpar.

Conjunto de bolas é o seguinte:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Há 10 bolas compondo o conjunto, onde destas bolas há 5 bolas com números pares e 5 bolas com números ímpar, sendo:
Pares = {0, 2, 4, 6, 8}
Ímpar = {1, 3, 5, 7, 9}

Certamente haverá leitores questionando-se sobre o número 0, pensando que por ser nulo não deveria assumir ser par ou ímpar, ou seja, sendo neutro. Como na física, onde há corpos com elementos negativos, positivos e neutros, onde 0 sim pode assumir como representação do valor neutro, mas equivocadamente fazendo essa analogia para aplicar na matemática, a matemática contida em equações e expressões advindas da física ou outra disciplina como, por exemplo, a resistência dos materiais, onde há cálculo considerando o equilíbrio, sendo que estes conceitos de neutralidade são puramente do conceito, não da linguagem utilizada no caso a matemática, sendo que a matemática serve como uma linguagem universal para expressar tais lógicas. No sistema numérico adotado, por convenção, que é o Sistema de Numeração Decimal, onde o algarismo 0 é par, justamente para o equilíbrio da linguagem (matemática) em possuir algarismos ímpares e pares em igualdade de número. Um exemplo prático disso é quando se calcula em uma expressão como no cálculo de momento fletor em uma viga, se atribui a soma dos momentos igual a 0, que expressa o equilíbrio, o 0 sendo nulo, pelo conceito adotado, neste caso tanto importa ímpar ou par, entende? Quem defende que ele não é par, e sim neutro, deveria entender a diferença de um sistema numérico adotado e os conceitos, onde a matemática é utilizada como linguagem para expressar conceitos lógicos ou raciocínio lógico, como já citada. Talvez ainda há argumentos contrários como, por exemplo, de um número par ser divisível por si mesmo, e por 2, em outra publicação talvez entra-se nessa questão com aplicação puramente matemática para provar ou não se 0 é par, por hora, aceite que 0 é par, pois a banca examinadora da presente questão considera 0 como par.
Para que no resultado de uma soma entre dois valores, se obtenha um número impar, há duas possibilidades:
Nº Ímpar + Nº Par = Nº Ímpar
Nº Par + Nº Ímpar = Nº Ímpar

Por que não é apenas uma possibilidade, considerando que a ordem dos fatores não altera o produto? Neste caso, em probabilidade e também em estatística altera-se o produto. 
Fala-se na questão em retirá-las em sequência e sem reposição, ou seja, retirando-se, por exemplo, uma bola de número par ímpar a próxima bola que retirar (segunda bola), há maior possibilidade de retirar par, e vice e versa. 
Então iremos analisar os dois casos, para montar nossa probabilidade. Sendo o primeiro:
Primeira bola - Ímpar (Evento 1 = E1)
E1 = 5/10

Segunda bola - Par (Evento 2 = E2, lembrando sem reposição, e saindo uma bola ímpar)
E2 = 5/9

Probabilidade dos eventos E1 e E2:
P(EP1) = E1 ∙ E2 = 5/10 ∙ 5/9 = 25/90 = 5/18

Agora a segunda possibilidade da primeira bola par:
E3 = 5/10

E segunda bola ímpar:
E4 = 5/9

Probabilidade dos eventos E3 e E4:
P(EP2) = E3 ∙ E4 = 5/10 ∙ 5/9 = 25/90 = 5/18

Agora basta somarmos as duas possibilidades, para obtermos a probabilidade de a soma resultar em número par:
P(E) = P(EP1) + P(EP2) = 5/18 + 5/18 = 10/18 
P(E) = 5/9
Resposta (Gabarito): alternativa “b”

(Pref. São João do Polêsine RS 2015 / Objetiva) Ao se lançar duas moedas perfeitas simultaneamente, é CORRETO afirmar que a probabilidade de serem obtidas exatamente duas caras é de:

a) 1/2
b) 1/4
c) 2/3
d) 1/5

Resolução:
Informação crucial para o cálculo é a de que se lançam simultaneamente as moedas, pois isso determinada a seguinte:
Lado desejado (cara) = 1
Lados totais (moeda) = 2
Deseja-se cara e cara, portanto, multiplicamos as duas possibilidades:
P(E) = 1/2 ∙ 1/2 = 1/4
Resultado (Gabarito): alternativa “b”

(Pref. Chapecó SC 2015 / Objetiva) Em um jogo de azar, são lançados simultaneamente dois dados perfeitos distinguíveis e ganha o jogador que apostou no número resultante da soma dos números obtidos nesses dois dados. Se um jogador apostou no número 3, qual é, aproximadamente, a probabilidade de NÃO sair soma 3?

a) 6%
b) 18%
c) 94%
d) 76%

Resolução:
Há duas formas para calcular a probabilidade de a soma dos dados ser igual a 3, a primeira é calcular a probabilidade em sair a soma 3, após isto subtrair de 100%, e a segunda forma é calcular de forma contrária e direta. Optou-se pela primeira opção. 
Em um dado sabemos que há 6 possibilidades, sabendo que temos dois dados, iremos multiplicar:
6 ∙ 6 = 36

Para se obter a soma igual a 3, há 2 possibilidades, sendo elas:
Dado com nº 1 + Dado com nº 2 = 3 
Dado com nº 2 + Dado com nº 1 = 3 
P(E) = 2/36 = 1/18 
P(E) ≈ 5,55%
100% - 5,55% ≈ 94,44%
Resposta (Gabarito): alternativa “c”

(Pref. Aceguá RS 2016 / Objetiva) Considerando-se que em determinada caixa há 5 bolas, sendo três da cor branca e duas da cor preta, qual é a probabilidade de, ao se retirar ao acaso duas bolas dessa caixa, a primeira ser a de cor branca e, em seguida, sem reposição desta, a segunda ser a bola de cor preta?

a) 25%
b) 30%
c) 50%
d) 60%

Resolução:
Uma caixa com 5 bolas, sendo:
3 bolas branca 
2 bolas preta
Sem reposição, portanto, será dividido em dois eventos:
1º Evento - Bola seja branca
E1 = 3/5
2º Evento - Bola seja preta
E2 = 2/4
Para obter a probabilidade:
P(E) = E1 ∙ E2 = 3/5 ∙ 2/4 = 6/20 =  3/10 
P(5) = 30%
Resposta: alternativa “b”

(Pref. Canguçu RS 2016 / Objetiva) Considerando-se que há em uma urna 8 bolas, numeradas de 1 a 8, a probabilidade de se retirar ao acaso a bola de número 3 e, em seguida, sem reposição desta, a bola de número 7 é de, aproximadamente:

a) 1,8%
b) 8,4%
c) 14,3%
d) 21,5%

Resolução:
Bolas dentro da urna {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8}
1º bola – retirar número 3
E1 = 1/8
2º bola (sem reposição) – retirar número 7
E2 = 1/7
Probabilidade da combinação dos dois eventos:
P(E) = E1 ∙ E2 = 1/8  ∙ 1/7 = 1/56
P(E) ≈ 0,017857 (decimal) ≈ 1,78%
Resposta (Gabarito): alternativa “a”

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