Questões Resolvidas - Matemática - Cálculo de área

Na presente publicação compartilho algumas questões resolvidas sobre cálculo de área, espero que seja útil em seu aprendizado. 

Questão 01. (Objetiva Concursos / Pref. São Gabriel 2016) A figura abaixo é formada por um círculo grande e cinco círculos menores de mesmo diâmetro:

Com base nessa figura, assinalar a alternativa que apresenta a área da região hachurada.

Resolução:

Se você analisar a figura, deverá observar o seguinte: o raio dos 5 círculos menores, não hachurados é igual a r, e que o valor do raio do círculo maior como é 3r, concorda? Creio que sim, caso não peço que avalie novamente a figura. Sabendo-se disso pode-se concluir que:

Questão 02. (Objetiva Concursos / Pref. Guaporé 2015) Sabe-se que um octaedro é formado por oito faces, seis vértices e doze arestas. Se todas as oitos faces são triângulos equiláteros com lado igual a 4cm, é CORRETO afirmar que a área total desse octaedro é igual a?

Resolução:

Um octaedro possui a seguinte forma:

O octaedro é formado por 8 triângulos equiláteros, sendo que a área de um triângulo equilátero é:

Portanto, o valor da área do octaedro é igual a:

O lado do triângulo corresponde à aresta, então:

Questão 03. (Adaptada - Objetiva Concursos) De acordo com a imagem abaixo, calcule a área hachurada:

Resolução:

A área hachurada nada mais é do que a área do quadrado menos a área do círculo, portanto:

Questão 04. (Objetiva Concursos / Pref. Maripá 2016) Em relação ao hexágono regular abaixo, assinalar a alternativa que apresenta a área hachurada da figura?

Resolução:

Acredito que tenha outra solução, porém, será resolvido da seguinte maneira, primeiro será encontrado o ângulo entre a aresta que for fornecido a medida de 2cm, e a reta que liga com outra extremidade da aresta, formando a figura de um triângulo isósceles, conforme ilustração abaixo:

Sabe-se que os ângulos de um hexágono são iguais, sendo que são 6 ângulo, basta encontrar a soma dos ângulos que é dado pela seguinte expressão:

Onde: 

na: número de arestas

Portanto:

Onde cada ângulo irá possuir então 120º, agora observe a ilustração abaixo:

Note que o ângulo de 120º se divide em 4 ângulos de igual tamanho formado pelas retas na cor vermelha, então o ângulo que procuramos é igual a (120º ÷ 4 = 30º). Agora podemos encontrar os demais valores que precisamos para calcular a área, utilizando relações trigonométricas:

Temos o valor da hipotenusa (2cm), e desejamos o valor do cateto oposto ao ângulo, representado pela letra h, para encontrar vamos utilizar fórmula de seno:

É importante ter na memória quando for realizar prova de concurso ou demais provas os valores dos ângulos notáveis. 

Continuando, agora precisamos encontrar o valor da base do triângulo isósceles, que vamos denominar como b.

Pronto, agora podemos calcular a área do triângulo isósceles:

Questão 05. (Adaptada - Objetiva Concursos / Pref. Renascença 2015) Calcule a área da figura abaixo:

Resolução:

Acredito que dentre as questões está seja a mais rápida para obter-se a área, pois basta calcular o perímetro do triângulo e então a área:

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