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terça-feira, 13 de junho de 2017

Questões Resolvidas - Matemática - Diversos Assuntos


Estive ajudando em outro site voluntariamente em algumas questões de matemática, dentre algumas destas compartilho na presente publicação, sendo que o motivo para isso é ideia em caso alguém necessitar de ajuda poder contar com as singelas resoluções das questões aqui expostas. 

Questão 01 - Quais os pontos da circunferência x² + (y - 1)² = 4 ?
Resolução:
Para se encontrar o centro da circunferência deve-se igualar x = 0 e y = 0, simples assim, mas antes vamos visualizar o que representa a parte do eixo x e y na equação avaliada.
x² + (y - 1)² = 4
 → representa o eixo x
(y - 1)² → representa o eixo y
4 → representa o raio
Obs.: Tira-se a raiz dos mesmos, ou seja, não se eleva ao quadrado para obter-se o valor do eixo x e y que refere-se ao centro da circunferência.
Então:
x = 0
y - 1 = 0
y = 1
Portanto, o ponto do centro é C (0, 1)

Questão 02 - Sou o maior número inteiro negativo de três algarismos, qual número sou?
Resolução:
Lembrando que os algarismos adotados pela convenção que utilizamos são os seguintes:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Sabendo dos algarismos o que representa maior quantidade é 9 quando é positivo, ou seja, crescente, porém, os algarismos que representam número negativo são na ordem decrescente (...,-5, -4, -3, -2, -1), que indica que o maior valor é o -1, pois o zero neste caso se considera como sendo nulo, e se pede o maior número negativo com três algarismos, que só pode ser:
x = -100

Questão 03 - O volume de um cone circular reto é 18π cm³. A altura do cone é igual ao diâmetro da base. Quanto mede a altura desse cone?
Resolução:
Volume de um cone qualquer é obtido pela seguinte expressão:
Onde:
V: volume do cone
Ab: área da base do cone
h: altura do cone
A área da base de um cone é um círculo, concorda? Veja a figura a abaixo e analise também a figura:
A área da base de um cone é um círculo, então, para obtermos o valor da área da base do cone em questão, basta utilizar a expressão para calcular a área de um círculo, que é:
Até o momento as incógnitas são o raio (r) e a altura (h), mas note que no enunciado da questão se fala do valor da altura, sendo igual ao diâmetro da base, e se você já havia notado isso ótimo. O diâmetro nada mais é do que 2 vezes o raio (d = 2r, onde d: diâmetro), onde o diâmetro é igual a altura (d = h), então:
h = 2r

Sabendo-se disso, podemos então montar a equação e obtermos a altura do cone, utilizando a expressão para calcular o volume, com os seguintes valores já mencionados anteriormente:
Ab π r²
h = 2r
V = 18π cm³
Montando a equação, temos:
Como o PI (π) está multiplicando os dois lados, podemos cortar ele para facilitar e simplificar o cálculo.

Como:
h = 2r
Portanto:
h = 2 . 3cm
h = 6cm (a altura do cone é de 6 centímetros)

Questão 04 - O quadrado de um número natural é igual a seu dobro somado com 24. Determine esse número.
Resolução:
O quadrado de um número natural é igual a seu dobro somando com 24, vamos chamar esse número de 'x'.
x² = 2x + 24 = 0
Tem-se uma equação de segundo grau:
x² - 2x - 24 = 0
Para resolver basta aplicar fórmula de Bhaskára:
Onde:
        a = 1
        b = -2
        c = -24
Portanto:
O número possui duas raízes, sendo elas 6 e -4.

Questão 05 - Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com cerca de 10.000 habitantes cada individuo contaminava 10 outros indivíduos no período de uma semana supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse ritmo a parti da contaminação do primeiro individuo pode-se estimar que toda a população dessa cidade ficou contaminada em aproximadamente?
Resolução:
Vamos tratar o problema como uma Progressão Geométrica, onde o primeiro termo da PA é o primeiro indivíduo que contraiu a doença (a1 = 1), e que a cada indivíduo contaminado se contamina mais 10 indivíduos, sendo a razão da nossa PG (r = 10). 
A fórmula geral de uma PG é dada pela seguinte expressão:
Irei explicar rapidamente cada item rapidamente:
      an: é o k-ésimo termo de uma PG (por exemplo: décimo termo da PG a10, sendo n = 10)
      a1: é o primeiro termo da PG 
      q: razão de uma PG
      n: referência numérica da posição do termo na PG
Onde para resolver a questão iremos assumir os seguintes valores:
an = 10.000
a1 = 1
q = 10
n = ? 
Quem estiver com dúvida sobre o porquê da incógnita ser a posição do k-ésimo termo, preste atenção na seguinte explicação: o enunciado da questão fornece um valor de habitantes contaminados, e explica a dinâmica matemática que ocorre a contaminação, que é temporal, ou seja, ocorre em determinado período, dividindo esse período em dias, e atribuindo um valor de pessoas contaminadas a cada dia, sendo obviamente crescente, pois se a cada 1 pessoa contaminada, mais 10 se contaminam dentro de um dia, em x dia teremos 10.000 pessoas contaminadas. Uma Progressão Geométrica ajuda a resolver este tipo de problema, assim como outros que pretendo aos poucos trazer ao blog. 
Portanto:
Isso significa que o vírus leva 5 dias para contaminar 10.000 indivíduos. 

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