Questões Resolvidas - Função VIII

Questão 01. Observe os gráficos das funções de IR em IR. 
 

a) Identifique os intervalos de crescimento e os intervalos de decrescimento de cada função.

b) As funções apresentam um valor máximo ou um valor mínimo? Em caso afirmativo, que valores são esses?

Resolução

a) Na primeira figura note que na reta f ao se aumentar o valor de x, também se aumenta o valor de y, e isso caracteriza uma função crescente, lembrando que x deverá pertencer aos números reais, obviamente, sendo que, se expressa da seguinte forma: x ϵ IR a função f é crescente. 

A próxima figura representa uma parábola de uma função quadrática, para melhor entendimento foi montado a seguintes ilustrações, iniciado pelo lado esquerdo do plano cartesiano, ou seja, o 2º e 3º quadrante:

Note que, ao aumentar o valor de x ilustrado na figura acima, da função g, o valor de y diminui, e isso é caracteriza uma função decrescente, mas, não ocorre em toda a função, certo? A função é decrescente quando x > 0, tendendo ao infinito negativo, concorda? Se escreve da seguinte maneira:  para x ϵ IR ]–∞, 0] a função g é decrescente.

Agora analisando o lado direito do plano cartesiano, ou seja, o 1º e 2º quadrantes, temos:

Acontece o contrário do que foi exposto anteriormente, concorda? Pois, agora ao aumentar-se o valor de x, da função g, o valor de y também aumenta. A função é crescente quando x < 0, tendendo ao infinito positivo. Se escreve da seguinte maneira:  para x ϵ IR [0, +∞[ a função g é crescente.

A última figura se trata de segmentos de retas, e retas, onde:

x ϵ IR ]–∞, –1] a função g é crescente;

x ϵ IR [–1, 1] a função g é decrescente;

x ϵ IR [1, +∞[ a função g é crescente.

b) Valor máximo

Exemplo:

Pode ser que a linguagem da matemática descrita pode lhe confundir um pouco, foi por isso que foi criado um exemplo ilustrado, que é a figura acima. Perceba que, o gráfico acima é de uma função quadrática, onde o ym é o valor máximo da função, pois nenhum valor do conjunto imagem poderá ser maior que este valor de ym.

Valor mínimo

Exemplo:

Note que, o valor de ym é o valor mínimo da função quadrática, do exemplo acima, pois, não haverá no conjunto imagem valor menor que ym. 

Portanto, das três funções apenas a função g, possui valor mínimo, que é 1. 

Questão 02. Construa o gráfico das funções g e h, de IR em IR, e verifique se são crescentes ou decrescentes.
a) g(x) = x + 5
b) h(x) = –2x + 1
Pense em alguns valores para x e mostre que a função f de IR em IR tal que f(x) = x² não é crescente em todo domínio.

Resolução
a) 

É crescente.

b)

É decrescente.

Questão 03. Observe o gráfico da função f e responda às questões.

a) Qual a imagem de 2 pela função f?
b) Para que valor de x a imagem é –2?
c) No intervalo [–1, 2], a função é positiva ou negativa? Nesse intervalo, a função é crescente?
d) Qual é o domínio dessa função?
e) Qual o conjunto imagem dessa função?

Resolução

a) Sem possuir a lei matemática, poderemos afirmar que a imagem de 2 pela função utilizando o gráfico é 2. Meio confuso se não estiver focado ao ler o enunciado, pois, se pede o valor de y para x = 2, sendo que, a imagem o valor de x que corresponde ao valor de y no conjunto imagem.

b) Agora note que, se deseja o contrário da alternativa "a", ou seja, se deseja o valor de x para y = –2. Ao analisar o gráfico, podemos afirmar que é 4. 

c) Observe o gráfico da função f, e note que, no intervalo [–1, 2], a reta está com valores positivos do conjunto imagem, ou seja, é positivo o intervalo. A reta deste mesmo intervalo é constante, que significa que o valor de y não irá variar neste intervalo, então não é nem crescente, nem decrescente. 

d) D(f) = [–3, 4] ou

e) Im(f) = [–2 , 4] ou

Questão 04. O gráfico representa uma função de IR em IR.

Classifique cada sentença em verdadeiro (V) ou falsa (F) e justifique os falsos.
a) f(0) = 0
b) A função é crescente no intervalo [0, +∞[
c) A função é positiva em todo o domínio.
d) O valor mínimo da função é –1.
e) Im(f) = [–1, +∞[

Resolução
a) V 
Basta observar no gráfico que quando x = 0, y = 0, portanto, f(0) = 0.

b) F
No intervalo [1, +∞[ é crescente, e no intervalo ]–∞, 1] decrescente. 

c) F
No intervalo [0, 2] a função é negativa, e nos intervalos  ]–∞, 0] e [2, +∞[ é positivo. 

d) V
Se houver dúvida, na questão 01, se explique de forma ilustrada o que é valor máximo e mínimo. 

e) V

Questão 05. Observe o gráfico da função f de IR em IR.

a) Quais são os zeros da função?
b) Em qual intervalo do domínio a função é crescente?
c) Para que valores de x a função é positiva? E negativa?
d) Qual é o domínio da função? E o conjunto imagem?
e) Qual é o menor valor que essa função pode assumir? Esse valor é imagem de qual valor do domínio?


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Imagens dos gráficos: Criadas pelo Autor no GeoGebra