Questões resolvidas - Matemática - Ângulos opostos pelo vértice

A presente publicação é sobre ângulos opostos pelo vértice, e será iniciado pela teoria, após isto, é exposto algumas questões resolvidas, espero que lhe seja útil no aprendizado.

Observe os ângulos AÔB  e CÔD na figura abaixo:

Verifique que:

                

Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB  e CÔD são opostos pelo vértice (o.p.v). 

Assim: Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro.

Na figura abaixo, vamos indicar:

Sabemos que:

                      X + Y = 180º  ( ângulos adjacentes suplementares)

                      X  + K = 180º ( ângulos adjacentes suplementares)

Então:                   

               

Logo:           y = k

Assim:            

               

Daí a propriedade: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Questão 01. Quais são os três pares de ângulos opostos pelo vértice?

Resposta: 

ab ; be ; cf

Questão 02. Calcule os ângulos indicados pelas letras:

Resolução:

z = 108º

108 + y = 180º   →   y = 72º

y = x   →   x = 72º

Resposta: 

x = 72º, y = 72º e z = 108º

Questão 03. Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, expressas por x + 60 º e 3x - 40º. Qual o valor de x?

Resolução:

x + 60º = 3x - 40º   →    x - 3x = - 40 - 60

-2x = - 100 (*-1)   →    2x = 100

x = 50º

Resposta:

x = 50º

Questão 04. Calcule os ângulos indicados pelas letras:

Resolução:

y = 45º

x = 120º

z = 180º - 120º   →    z = 60º

Resposta:

x = 120º ; y = 45º e z = 60º

Questão 05. Calcule o x, observando a figura abaixo:

Resolução:

4x + 10º = 2x + 40º

4x - 2x = 40º -10º   →    2x = 30º

x = 15º

Resposta:
x = 15º

Questão 06. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e ângulo 3 mede 55º.

A medida, em graus, do ângulo 2 é:

a) 50º
b) 55º
c) 60º
d) 80º
e) 100º

Resolução:
Traçando uma reta auxiliar paralela às outras duas, onde teremos que o ângulo do meio é igual a soma dos ângulos extremos:

Sendo então:
2 = 1 + 3   →    x = 55º + 45º
x = 100º

Resposta:
x = 100º

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