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sábado, 22 de abril de 2017

Questões Resolvidas - Matemática - Análise Combinatória



No presente texto é exposto resolução de algumas questões referente à análise combinatória, sobre determinada banca de concurso (citadas nas questões), do Estado do Rio Grande do Sul, em provas de prefeituras, caso deseje que continue este tipo de publicação, comente ou entre em contato.

(Pref. Palmares do Sul RS – 2016 / Objetiva) Em determinado escritório de arquitetura e urbanismo trabalham 15 profissionais, sendo 9 arquitetos e 6 engenheiros. Quantas comissões compostas por dois arquitetos e dois engenheiros podem ser formadas?

a) 360
b) 420
c) 480
d) 540

Resolução:
Utilizando o cálculo do número de combinações simples, da análise combinatória, iremos resolver a questão com uso da seguinte expressão: 
Lembrando: um dado conjunto de n elementos, chama-se combinação simples dos n elementos, tomando p a p, qualquer agrupamento não-ordenado (subconjunto) de p elementos escolhidos entre os n possíveis. 
Na presente questão possuímos 2 conjuntos, sendo o primeiro composto por 9 arquitetos, e o segundo por 6 engenheiros, certo? Portanto, temos dois conjuntos de n elementos (de arquitetos n = 9, e de engenheiros n = 6). Fique atento, pois a questão inclui a soma dos dois conjuntos, para confundir, fazendo alguns pensarem que se trata de 1 conjunto de 14, até pode-se pensar assim, porém, muda-se a maneira de calcular, particularmente indico a que apresento no presente desenvolvimento. 
Continuando com o raciocínio, na questão pede-se para compor comissões com 2 arquitetos e 2 engenheiros, ou seja, unindo os subconjunto obtidos pelas possíveis combinações de cada, informando quantas possibilidade poderão surgir de comissões entre os subconjuntos. Multiplicando cada subconjunto podemos obter as comissões, não entendeu o porquê multiplicar? Vou exemplificar de uma forma diferente, análoga ao caso, um exemplo simples onde em uma loja possui 2 tipos de calças e cada calça possui 9 cores diferente, será possível compor quantas combinações (comissões)? Neste caso basta multiplicar (2 ∙ 3 = 6) e obtemos as 6 (seis) combinações, ou seja, é o resultado da multiplicação dos dois conjuntos, de calças e de cores. 

Se você é um daqueles que se questionou o motivo por que não se utilizou a expressão apresentada no início da resolução, basta aplicar e entenderá. 

Continuando a resolução propriamente dita, aplicamos na resolução da questão a expressão das combinações simples:

Arquitetos:


Engenheiros:
E então, para obtermos as comissões possíveis, multiplicamos as expressões: 


Resposta (Gabarito): alternativa d



(Pref. São Lourenço do Sul RS – 2016 / Objetiva) Em um grupo de 6 pessoas, é necessário escolher 3 pessoas para formar um grupo menor. Com base nessa informação, assinalar a alternativa que apresenta a quantidade de grupos diferentes de 3 pessoas que podem ser formados:



a) 320

b) 20

c) 120

d) 720



Resolução:
Utilizando o cálculo do número de combinações simples, iremos resolver a questão (explicado no exemplo acima). 

Resposta (Gabarito): alternativa b

(Pref. São Gabriel RS – 2016 / Objetiva) Flávia deseja criar uma senha de 3 letras, sendo que para essa tarefa foram disponibilizadas as letras A, B, F, H, K e X. Com base nisso, é CORRETO afirmar que o total de senhas distintas e sem repetição de letras que podem ser criadas é de:

a) 60
b) 80
c) 120
d) 720

Resolução:
Utilizando princípio multiplicativo nesta questão, conseguiremos resolver. 
E1 (escolha da primeira letra): 6 possibilidades
E2 (escolha da segunda letra): 5 possibilidades
E3 (escolha da terceira letra): 4 possibilidades
Sempre que escolho uma letra, se elimina a possibilidade de utiliza-la novamente. Certo? Agora para obter o total de senhas distintas, multiplicamos as possibilidades.
ET = 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120

Resposta (Gabarito): alternativa c

(Pref. Renascença PR – 2015 / Objetiva) De quantas maneiras um grupo de 6 amigos pode sentar-se nas poltronas de uma fila composta por 6 lugares em determinado cinema?

a) 720
b) 610
c) 500
d) 830

Resolução:
Para responder a questão basta calcular fatoral de 6.
6! = 720

Resposta (Gabarito): alternativa a

(Pref. Maripá PR – 2016 / Objetiva) Considerando-se 3 vagas de estacionamento, uma ao lado da outra, e 7 carros distintos, assinalar a alternativa que apresenta a quantidade possível de disposições diferentes dos carros nas 3 vagas:

a) 120
b) 210
c) 430
d) 720

Resolução:
Utilizando princípio multiplicativo nesta questão, conseguiremos resolver (já calculado anteriormente). 
E1 (primeiro carro ocupando a vaga 1): 7 possibilidades
E2 (segundo carro ocupando a vaga 2): 6 possibilidades
E3 (terceiro carro ocupando a vaga 3): 5 possibilidades
Saindo os carros, e os demais ocupando as garagens, podemos obter a quantidade possível de disposições distintas dos carros, nas 3 vagas. 
ET = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210 possibilidades

Resposta (Gabarito): alternativa b

(Pref. Encruzilhada do Sul RS – 2016 / Objetiva) Usando-se os algarismos 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados?
a) 100
b) 110
c) 130
d) 120

Resolução:
Utilizando o princípio multiplicativo nesta questão, conseguiremos resolver (como já calculado anteriormente). 
E1 (primeiro algarismo): 6 possibilidades
E2 (segundo algarismo): 5 possibilidades
E3 (terceiro algarismo): 4 possibilidades

ET = 6 ∙ 5 ∙ 4 = 120 possibilidades

Resposta (Gabarito): alternativa d

(Pref. Quintandinha PR – 2016 / Objetiva) Considerando-se os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, marcar C para as afirmativas Certas, E para as Erradas e, após, assinalar a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:

(   ) Pode-se formar 32.768 números naturais com cinco algarismos.
(   ) Pode-se formar 1.680 números naturais com quatro algarismos distintos.
(  ) Pode-se formar 512 números naturais maiores que 400 com três algarismos distintos.
(   ) Pode-se formar 132.072 números naturais ímpares com seis algarismos.

a) C - C - E - E.
b) E - C - C - C.
c) C - E - E - E.
d) E - C - E - C.
e) C - E - C - E.

Resolução:
Pode-se formar 32.768 números naturais com cinco algarismos. Certo ou Errado?
Como a proposição não menciona serem números distintos, então poderá repetir os números. 
E1 (primeiro algarismo): 8 possibilidades
E2 (segundo algarismo): 8 possibilidades
E3 (terceiro algarismo): 8 possibilidades
E4 (quarto algarismo): 8 possibilidades
E5 (quinto algarismo): 8 possibilidades

ET = 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 32.768
A proposição está Certa!

Pode-se formar 1.680 números naturais com quatro algarismos distintos. Certo ou errado?
Agora diferente da alternativa anterior, os algarismos deverão ser diferentes, então o cálculo é realizado de forma discrepante, diminuindo o número de possibilidades conforme se atribui os algarismos, conforme visto em outros exemplos anteriores (por exemplo das vagas e dos veículos), ou pode-se também realizar através do cálculo de permutação com elementos repetidos, como ainda não há nenhum exemplo, iremos utilizar a seguinte fórmula:

A proposição está Certa!



Pode-se formar 512 números naturais maiores que 400 com três algarismos distintos. Certo ou Errado?

São 3 algarismos distintos, sendo maiores que 400, então teremos em nossa primeira posição valores igual e acima de 4, ou seja, 4, 5, 6, 7, 8. Na segunda posição o número só não poderá assumir o mesmo número do primeiro, que são 5 possibilidades, sobrando 4, sendo que devemos somar mais as 3 possibilidades restantes (1, 2, 3). Para o último número, teremos uma possibilidade a menos que o algarismo anterior.

E1 (primeiro algarismo): 5 possibilidades

E2 (segundo algarismo): 7 possibilidades

E3 (terceiro algarismo): 6 possibilidades

ET = 5 ∙ 7 ∙ 6 = 210 possibilidades 
A proposição está Errada!

Pode-se formar 132.072 números naturais ímpares com seis algarismos. Certo ou Errado?
Sendo 6 algarismos não distintos e ímpares, teremos apenas o último número limitado aos números ímpares (1, 3, 5, 7), que são 4 possibilidades. Portanto:
85 ∙ 4 = 131.072
A proposição está Errada!

Resposta (Gabarito): alternativa a

(Pref. Itacurubi RS – 2016 / Objetiva) Quantas vezes o número 2 é escrito, como algarismo das centenas, levando-se em consideração todos os números inteiros de 100 a 300?

a) 150
b) 200
c) 100
d) 250

Resolução:
Sendo centena, trata-se de 3 algarismos, e pede-se a quantidade de vezes que o número 2 é grafado. Vejamos abaixo:
E1 (primeiro algarismo): 1 possibilidades (100 a 300 só teremos grafado 1 vez o número 2 no primeiro algarismo)
E2 (segundo algarismo): 10 possibilidades (Terá o número grafado 10 vezes, no segundo algarismo, correspondendo as dezenas de 20 a 29, não confunda com subtração, é número de vezes que se grafa o numeral 2). 
E3 (terceiro algarismo): 10 possibilidades (Terá o número grafado 10 vezes, no último – terceiro algarismo -, correspondente à unidade, sendo os seguintes números 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 102. 
ET = 1 ∙ 10 ∙ 10 = 100 será escrito o número 2 

Resposta (Gabarito): alternativa c


(Editado 16/05/2016 - Erros de gramática)



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