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sexta-feira, 16 de junho de 2017

Questões Resolvidas - Matemática - Progressão Aritmética


Abaixo é exibido a resolução de algumas questões sobre Progressão Aritmética, espero que seja útil para seu aprendizado.
O que tenho compartilhado relativo a questões respondidas são em níveis mais simples, sem complexidade, como forma de avaliar o feedback e como será a procura por este tipo de conteúdo, pois não desejo continuar com linhas de publicações que não tenha validade em auxiliar outras pessoas.  

Questão 01. Em uma progressão aritmética com três termos, o primeiro termo é 36 e o último termo é -8. Com base nessas informações, responda:
a) Qual é a razão dessa PA?
b) Qual o termo central dessa PA?
c) Qual é a soma dos termos dessa PA?
Resolução:
Todo problema de matemática envolve informações fornecidas e outras que deverão ser obtidas com o raciocínio lógico matemático de quem resolve a questão. E na presente questão não é diferente, se informa o valor do primeiro e último termo da PA, a quantidade de termos, sendo que precisamos encontrar o valor da razão da PA, e depois as demais informações que se pede. Utilizaremos a fórmula geral de uma PA, que é:
Onde:
an: é o k-ésimo termo da PA
a1: primeiro termo da PA
n: posição do termo na PA
r: razão da PA

a) Sabendo que:
Então:

b) Termo central da PA é o segundo termo (a2, sendo n = 2), então:

c) Há duas maneiras de encontrar a soma dos termos de uma PA, um é simplesmente encontrar todos o termos e somar, e outra é aplicar a fórmula da soma de uma PA, que é a seguinte:
Utilizaremos as duas na primeira questão:

Questão 02. No segundo semestre de 2016, a venda mensal de automóveis por determinada loja cresceu em progressão aritmética, graças a empenho de toda equipe de venda. Em julho, a venda foi de 12 automóveis e, em dezembro, 27 automóveis. Quantos automóveis foram vendidos por essa loja em novembro de 2016?
Resolução:
Primeiro devemos ilustrar o que é o segundo semestre de 2016, ou de qualquer ano, sendo composto pelos seguintes meses: (julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro), também podemos representar por algarismos os meses como uma PA, respectivamente: (1, 2, 3, 4, 5, 6). 
Continuando na análise do enunciado da questão, temos os valores do primeiro termo (a1) da PA e o último termo (a6), e se pede o termo referente ao mês de novembro, que é do quinto termo (a5) da PA. Para encontrarmos o valor, primeiro precisamos calcular a razão da PA.
Portanto:

Então no mês de novembro foi vendido 24 automóveis pela referida loja.

Questão 03. Dada a PA = [(x - 3), (2x - 5), (17 - x)], determine o valor de x.
Resolução:
Parece uma questão complicada de resolver, porém, é simples. A resolução da presente questão é montando um sistema linear, com base na obtenção direta da razão de uma PA, que é subtraindo o termo subsequente ao seu antecessor. 
Resolvendo o sistema, temos:

Questão 04. Um engenheiro civil realiza perícias para a Justiça Estadual sendo que a quantidade de perícias realizadas em 20 dias, configura a seguinte situação: no primeiro dia, foram realizadas 3 perícias, no segundo, 5, e assim por diante, formando uma progressão aritmética. Com base nessas informações, quantas perícias foram realizadas ao todo por esse engenheiro em 20 dias?
Resolução:
O que se pede é simples, se deseja a soma de todas perícias ao longo dos 20 dias, que se pode calcular utilizando a fórmula geral para encontrar a soma de uma PA, porém, antes disso falta uma informação para que seja possível a utilização da referida fórmula, que é o vigésimo termo da PA, que corresponde ao quê? Sim, ao último dia, e antes disso a razão da PA. 
Portanto:

Então foram realizadas 440 perícias ao final de 20 dias.

Questão 05. Um escritório de arquitetura ao final do primeiro semestre do ano, em que inaugurou, realizou ao total 57 projetos, sabendo-se que isso ocorreu em progressão aritmética, sendo a razão igual 3, e no mês de junho realizado 17 projetos, quantos projetos foram realizados no primeiro mês do escritório de arquitetura?
Resolução:
Temos a soma da PA, que é constituída obviamente por 6 termos, basta isolar o primeiro termo da fórmula geral para se obter a soma de uma PA.
Sendo:

Portanto:
Então no primeiro mês foi realizado 2 projetos pelo escritório de arquitetura. 
Desejo rapidamente realizar o mesmo exercício, porém, iremos supor que não houvesse sido informado o valor dos projetos do mês de junho, ou seja, calcular o primeiro termo tendo-se apenas a soma dos termo da PA e a razão da PA.
Resolução:
Nesse caso, devemos utilizar a fórmula geral para encontrar o valor equivalente de cada termo da PA, tendo como incógnita o primeiro termo, somar os seis termos da PA igualando ao valor da soma, que possuímos, observe:


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